ত্ৰিভুজৰ সম্পৰ্কে কিছু কথা। Something about Triangle.

ত্ৰিভুজৰ সম্পৰ্কে কিছু কথা। Something about Triangle.

📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐📐

 তিনিডাল বাহুৰে আগুৰি থকা সমতলি ক্ষেত্ৰক ত্ৰিভুজ বা Triangle বোলে ৷ ত্ৰিভুজৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দু, তিনিটা বাহু আৰু তিনিটা কোণ থাকে। ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি ১৮০° হয়।

কোণ আৰু বাহুৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি ত্ৰিভুজক ছয় প্ৰকাৰত বিভক্ত কৰা হৈছে। 

১/ বাহু হিচাপে তিনি প্ৰকাৰৰ আৰু

২/ কোণ হিচাপে তিনি প্ৰকাৰৰ ত্ৰিভুজ পোৱা যায়।

১) বাহু হিচাপে ত্ৰিভুজৰ প্ৰকাৰবোৰ হৈছে -

i) সমবাহু ত্ৰিভুজ( Equilateral Triangle):– যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ তিনিওডাল বাহুৰ মাপেই পৰস্পৰ সমান হয় , সেইবিলাক ত্ৰিভুজক সমবাহু ত্ৰিভুজ বোলে ৷ তদুপৰি এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা অন্তঃকোণৰ মাপ পৰস্পৰ সমান আৰু প্ৰতিটোৰে মাপ ৬০° হয়।

ii) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ( Isosceles Triangle):– যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ মাপ পৰস্পৰ সমান , সেইবিলাক ত্ৰিভুজক সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ বোলে ৷ সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ সমান বাহুদ্বয়ৰ ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটাৰ মাপ পৰস্পৰ সমান হয়।

ii) বিষম বাহু ত্ৰিভুজ(Scalene Triangle): যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ তিনিওডাল বাহুৰ জোখ অসমান হয় সেইবিলাক ত্ৰিভুজক বিষমবাহু ত্ৰিভুজ বোলে ৷ বাহু বিলাকৰ মাপ অসমান হোৱাৰ বাবে বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকোণ তিনিটাৰ মাপো অসমান৷ 

২) কোণ হিচাপে ত্ৰিভুজৰ প্ৰকাৰবোৰ হৈছে —

i) সূক্ষ্মকোণী ত্ৰিভুজ(Acute Angle Triangle):- যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মাপ ৯০°তকৈ সৰু , সেইবিলাক ত্ৰিভুজক সূক্ষ্মকোণী ত্ৰিভুজ বোলে৷ যেনে -

 ১০° , ২০°,৩০°,৪০°, ৪৫°, ৫০°, ৬০°, ৭০, ৭৫°, ৮৫°... আদি কোণবোৰ ত্ৰিভুজটোৰ প্ৰতিটো অন্ত:কোণৰ জোখ হ'ব লাগিব।

ii) সমকোণী ত্ৰিভুজ( Right Angle Triangle):- যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ এটা কোণৰ মাপ এক সমকোণ বা ৯০° সেইবিলাক ত্ৰিভুজক সমকোণী ত্ৰিভুজ বোলে ৷ সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাকী দুটা কোণৰ মাপ সুক্ষ্ম আৰু ইহঁতৰ সমষ্টি এক সমকোণৰ সমান হয়।

যেনে - (৪৫°,৪৫°,৯০°) ত্ৰিভুজ। (৩০°,৬০°,৯০°) ত্ৰিভুজ । 

iii) স্থূলকোণী ত্ৰিভুজ( Obtuse Angle Triangle): যিবিলাক ত্ৰিভুজৰ এটা কোণৰ মাপ এক সমকোণ বা ৯০°তকৈ অধিক হয় সেই ত্ৰিভুজক স্থূলকোণী ত্ৰিভুজ বোলে ৷ যেনে - (৩০°,৩০°,১২০°) ত্ৰিভুজ ।(১০°,২০°,১৫০°) ত্ৰিভুজ । (১°,১°,১৭৮°) ত্ৰিভুজ । এটা স্থূলকোণী ত্ৰিভুজৰ ডাঙৰ কোণৰ মান আটাইতকৈ বেছি ১৭৮° হ'ব পাৰে কিন্তু ইয়াতকৈ ডাঙৰ হ'ব নোৱাৰে।

ত্ৰিভুজৰ ভাগ আৰু জোখৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি 

ত্ৰিভুজৰ কিছুমান বৈশিষ্ট্য ( Chacteristics of Triangle ) পোৱা যায়। সেইবোৰ হৈছে -

i) ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ মাপৰ সমষ্টি ত্ৰিভুজৰ তৃতীয় বাহুৰ মাপতকৈ বেছি।

ii) ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ মাপৰ পাৰ্থক্য ত্ৰিভুজৰ তৃতীয় বাহুৰ মাপতকৈ সৰু ৷

iii) এটা ত্ৰিভুজৰ বৃহত্তম বাহুৰ বিপৰীত কোণটোৰ জোখ সদায় বেছি ৷ বিপৰীতভাৱে ক্ষুদ্ৰতম বাহুৰ বিপৰীত কোণটো সদায় সৰু হয়।

iv) ত্ৰিভুজৰ যিকোনো এটা বহিঃস্থ কোণৰ মাপ দূৰবৰ্ত্তী অন্তঃস্থ কোণ দুটাৰ মাপৰ সমষ্টিৰ সমান ৷

v) ত্ৰিভুজৰ তিনিটা অন্তঃস্থ কোণৰ মাপৰ সমষ্টি সদায় দুই সমকোণ বা ১৮০°ৰ সমান ৷

vi) ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড ত্ৰিভুজটোৰ তৃতীয় বাহুডালৰ সমান্তৰাল আৰু পৰিমাপত আধা ৷

vii) একে ভূমি আৰু একেদুডাল সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত অৱস্থিত দুটা ত্ৰিভুজৰ কালি সদায় সমান ৷ 

ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা ( Medians of a Triangle):           

     ত্ৰিভুজৰ যিকোনো এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ ওপৰত সমদ্বিখণ্ডিত কৰি টনা ৰেখাখণ্ডক ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা বোলে। ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা তিনিডাল থাকে।

ত্ৰিভুজৰ উন্নতি( Altitude):

     ত্ৰিভুজৰ যিকোনো এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা সিহঁতৰ বিপৰীত দিশত থকা বাহুলৈ টনা লম্বডালক ত্ৰিভুজৰ উন্নতি বোলে৷ ত্ৰিভুজৰ উন্নতি ত্ৰয় একবিন্দুগামী৷ ত্ৰিভুজৰ উন্নতিয়ে বিপৰীত বাহুৰ ওপৰত ৯০° কোণ কৰি থাকে।

ত্ৰিভুজৰ কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক(Angle Bisector)–

ত্ৰিভুজৰ কোণ এটাক সমানে দুভাগ কৰা ৰেখাখণ্ডক ত্ৰিভুজৰ কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক বোলে৷ ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ বাবে তিনিডাল সমদ্বিখণ্ডক পোৱা যায়৷ এই সমদ্বিখণ্ডক ত্ৰয়

একবিন্দুগামী৷ ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকোণৰ দ্বিখণ্ডক তিনিডালৰ ওপৰত থকা প্ৰতিটো বিন্দু কোণ উৎপন্নকাৰী বাহুদ্বয়ৰ পৰা সমদূৰবৰ্ত্তী৷

ত্ৰিভুজৰ লম্বদ্বিখণ্ডক( Perpendicular bisector ):– ত্ৰিভুজৰ বাহু এডালক লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডত কৰা ৰেখাখণ্ডক লম্বদ্বিখণ্ডক বোলে৷ ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল বাহুৰ তিনিডাল লম্বদ্বিখণ্ডক থাকে আৰু ইহঁত একবিন্দুগামী৷ যিডাল বাহুৰ ওপৰত লম্বদ্বিখণ্ডকডাল থাকে সেই বাহুৰ দুই প্ৰান্তবিন্দুৰ পৰা লম্বদ্বিখণ্ডকৰ প্ৰতিটো বিন্দু সমদূৰবৰ্ত্তী৷

   ত্ৰিভুজৰ মধ্যম বা মাধ্যকি ( Median of Triangle):–

 ত্ৰিভুজৰ পৰিকেন্দ্ৰ ( Circumcentre):– ত্ৰিভুজৰ লম্বদ্বিখণ্ডক তিনিডাল যিটো বিন্দুত মিলিত হয় সেই বিন্দুটোক ত্ৰিভুজৰ পৰিকেন্দ্ৰ বোলে৷ ইয়াক C আখৰৰে সূচিত কৰা হয়৷ পৰিকেন্দ্ৰক কেন্দ্ৰ কৰি অঁকা বৃত্তটো ত্ৰিভুজটোৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দুৰে যায় আৰু এই বৃত্তটোক পৰিবৃত্ত( Circum Circle) বোলে৷ এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা শীৰ্ষবিন্দুৰ মাজেৰে এটা বৃত্ত অংকণ কৰিবলৈ হ’লে আমি প্ৰথমে ত্ৰিভুজটোৰ লম্বদ্বিখণ্ডক তিনিডাল আঁকি পৰিকেন্দ্ৰ উলিয়াই ল’ব লাগিব আৰু পিচত সেই পৰিকেন্দ্ৰক কেন্দ্ৰ কৰি পৰিকেন্দ্ৰ আৰু ত্ৰিভুজটোৰ যিকোনো এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্বক ব্যাসাৰ্দ্ধ লৈ বৃত্ত অংকণ কৰিলে ই ত্ৰিভুজটোৰ তিনিওটা শীৰ্ষবিন্দুৰ মাজেৰে যাব৷

ত্ৰিভুজৰ পাদিক কেন্দ্ৰ( Orthocentre of Triangle):

ত্ৰিভুজৰ উন্নতি তিনিডালে যিটো বিন্দুত ইডালে সিডালক ছেদ কৰে বা মিলিত হয় সেই বিন্দুটোক ত্ৰিভুজৰ লম্ববিন্দু বা পাদিক কেন্দ্ৰ বোলে৷ ইয়াক O আখৰৰে সূচিত কৰা হয়

ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকেন্দ্ৰ( Incentre of Triangle):

ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকোণ তিনিটাৰ সমদ্বিখণ্ডক তিনিটা যিটো বিন্দুত মিলিত হয় সেই বিন্দুটোক ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকেন্দ্ৰ বোলে ৷ ইয়াক I বা আই আখৰেৰে গা সূচিত কৰা হয়৷ অন্তঃকেন্দ্ৰক কেন্দ্ৰ কৰি অঁকা বৃত্তটোৱে ত্ৰিভুজটোৰ বাহু তিনিডালক স্পৰ্শ কৰি থাকে আৰু এই বৃত্তটোক অন্তঃবৃত্ত( Inscribed Circle) বোলা হয়৷

ত্ৰিভুজৰ ভাৰকেন্দ্ৰ( Centroid of Triangle):-

   ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা তিনিডালে মিলিত হোৱা বিন্দুটোক ত্ৰিভুজৰ ভাৰকেন্দ্ৰ বোলে৷ ইয়াক G আখৰৰে সূচিত কৰা হয়৷ ভাৰকেন্দ্ৰত মধ্যমা এডাল 2 : 1 অনুপাতত বিভক্ত হয়৷

ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা( Perimeter of Triangle):-

ত্ৰিভুজ এটাৰ তিনিডাল বাহুৰ মাপৰ সমষ্টিৰয়ে ইয়াৰ পৰিসীমা৷ যদি এটা ত্ৰিভুজৰ বাহু তিনিডালৰ মাপ ক্ৰমে a, b আৰু c হয় তেনে,

ত্ৰিভুজটোৰ পৰিসীমা=( a+b+c)

ত্ৰিভুজৰ কালি( Area of a Triangle):

ত্ৰিভুজৰ কালি কেইবা ধৰণেও নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি৷ কালি বৰ্গ এককত প্ৰকাশ কৰা হয়৷

a) অতি সাধাৰণ ভাবে,

ত্ৰিভুজৰ কালি=½×ভূমি×উচ্চতা

b) ত্ৰিভুজটোৰ তিনিওডাল বাহুৰ মাপ জনা থাকিলে তলৰ সূত্ৰৰ সহায়ত ইয়াৰ কালি উলিয়াব পাৰি৷

∆=√s(s-a)(s-b)(s-c) য’ত a,b আৰু c ক্ৰমে ত্ৰিভুজটোৰ তিনিডাল বাহুৰ মাপ আৰু s=a+b+c/2

c) আকৌ A(a,b), B(c,d) আৰু C((e,f) শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজ এটাৰ কালি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি মতে,

∆=½|a(d-f)+c(f-b)+e(b-d)|

ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাংগসমতা( Congurency of a Triangle):

   সৰ্বাংগসম মানে হৈছে সকলোবিলাক অংগৰ জোখ সমান ৷ অৰ্থাৎ সমান আকাৰ আৰু আকৃতিৰ ৷ দুটা ত্ৰিভুজ পৰস্পৰ সৰ্বাংগসম হয় কিছুমান নিৰ্দিষ্ট চৰ্ত সাপেক্ষে আৰু এই চৰ্ত্ত বোৰক ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ স্বীকাৰ্য বোলে৷ সেইবোৰ হ’ল—-

a) বাহু-বাহু-বাহু ( SSS ) স্বীকাৰ্য্য:- SSS স্বীকাৰ্য্য মতে এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল বাহু ক্ৰমে আন এটা ত্ৰিভুজৰ বাহুত্ৰয়ৰ সমান হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা পৰস্পৰে সৰ্বাংগসম হ’ব ৷

b) বাহু-কোণ-বাহু ( SAS) স্বীকাৰ্য্য:- SAS স্বীকাৰ্য্য অনুসৰি যদি এটা ত্ৰিভুজৰ দুডাল বাহু আৰু বাহুদ্বয়ৰ মাজৰ কোণটো আন এটা ত্ৰিভুজৰ দুডাল বাহু আৰু সেই বাহুদুডালৰ মাজৰ কোণটো পৰস্পৰ সমান হয় তেনে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম হ’ব৷

c) কোণ-বাহু-কোণ ( ASA) স্বীকাৰ্য্য:- ASA স্বীকাৰ্য্য মতে যদি এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা কোণ আৰু এইকোণ দুটাৰ উমৈহতীয়া বাহুডাল আন এটা ত্ৰিভুজৰ দুটাকোণ আৰু সিহঁতৰ উমৈহতীয়া বাহুডালৰ সমান হয় তেনে ত্ৰিভুজ দুটা পৰস্পৰ সৰ্বাংগসম হ’ব৷

d) সমকোণ-অতিভূজ-বাহু (RHS) : RHS স্বীকাৰ্য্য মতে যদি এটা ত্ৰিভূজৰ এটা কোণ সমকোণ, অতিভূজ আৰু বাহু এটাৰ জোখ আন এটা ত্ৰিভূজৰ এটা সমকোণ, অতিভূজ আৰু বাহু এটাৰ জোখ সমান হয় তেন্তে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম হ'ব।

দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম বুজাবলৈ ত্ৰিভুজ দুটাৰ মাজত ≈ চিন ব্যৱহাৰ কৰা হয়৷ যেনে: ∆ABC≈∆PQR

দুটা ত্ৰিভুজ সদৃশ তেতিয়া হ’ব যেতিয়া–

ক) এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ মাপ আন এটা ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ তিনিটাৰ সমমাপৰ হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ হ’ব৷ এই চৰ্ত্তটোক ত্ৰিভুজৰ কোণ-কোণ-কোণ(AAA) সাদৃশ্যতাৰ স্বীকাৰ্য্য বোলে৷

খ) এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল বাহুৰ মাপ যদি আন এটা ত্ৰিভুজ অনুৰূপ বাহু তিনিডালৰ সমানুপাতিক হয় তেনে বাহু-বাহু-বাহু (SSS) স্বীকাৰ্য্য মতে ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ হ’ব৷

গ) এটা ত্ৰিভুজৰ এযোৰ বাহু যদি আন এটা ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বহুযোৰৰ সমানুপাতিক হয় আৰু ত্ৰিভুজৰ দুটাৰ সেই বাহু দুযোৰৰ মাজৰ কোণ দুটা সমান মাপৰ হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা পৰস্পৰে সদৃশ হ’ব৷ ইয়াকে ত্ৰিভুজৰ বাহু-কোণ-বাহু ( SAS ) সাদৃশ্যতাৰ স্বীকাৰ্য্য বোলে৷

ঘ) দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজ পৰস্পৰ সদৃশ হ’ব যদিহে এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু এডাল বাহু আনটো ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু এডাল বাহুৰ সমানুপাতিক হয়৷ এইটোক সমকোণ-অতিভুজ-বাহু ( R-H-S) স্বীকাৰ্য বোলে৷

দুটা ত্ৰিভুজ সদৃশ হোৱাটো বুজাবলৈ ত্ৰিভুজ দুটাৰ মাজত ~ ব্যৱহাৰ কৰা হয়৷ যেনে: ∆ABC~∆PQR

ত্ৰিভুজ আৰু পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ:– সমকোণী ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ প্ৰযোজ্য৷ এই সূত্ৰ মতে এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাহু তিনিডালৰ এটা সম্পৰ্ক পোৱা যায় আৰু সম্পৰ্কটো হ’ল—

(অতিভুজ)²=(ভূমি)²+ ( লম্ব )²

ত্ৰিভুজৰ সাদৃশ্যত( Similarity of Triangle ):-

ত্ৰিভুজৰ বাহুত্ৰয়ৰ অনুপাত:– এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ যিকোনো এটা সূক্ষ্মকোণৰ ( ধৰোঁ Θ) সাপেক্ষে বাহু তিনিডালৰ ছয়টা অনুপাত পোৱা যায়৷ এইকেইটাক ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত বোলে৷ সেইবোৰ হ’ল–

ক) SinΘ= লম্ব/অতিভুজ

খ) CosΘ= ভূমি/অতিভুজ

গ) tanΘ= লম্ব/ভূমি

ঘ) cotΘ= ভূমি/লম্ব

ঙ) secΘ= অতিভুজ/ভূমি

চ) cosecΘ= অতিভুজ/লম্ব

💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖💖

লেখাটো পঢ়ি ছোৱাৰ বাবে আপোনাক অশেষ ধন্যবাদ জনালো। আলাপ অসম নামৰ ব্লগৰ কিছু তথ্য সংগ্ৰহ কৰা হৈছে। কিছুক্ষেত্ৰত বাক্যৰ পৰিবৰ্তন কৰা হোৱা নাই। 

           লেখক: দুদুল সোণোৱাল।

🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏🙏