অখণ্ড সংখ্যাৰ বিধি সমূহ । Properties of Integers.

অখণ্ড সংখ্যাৰ বিধি :

১/ বিনিময় বিধি (commutative property):

অখণ্ড সংখ্যাবোৰে যোগ আৰু পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত বিনিময় বিধি মানি চলে। যি বিধি মতে দুটা অখণ্ড সংখ্যা যোগ কৰিলে বা পূৰণ কৰিলে যিটো ফলাফল পোৱা যায়, সংখ্যা কেইটাৰ স্থান সালসলনি কৰি যোগ বা পূৰণ কৰিলেও যদি একেই ফলাফল পোৱা যায়, তেন্তে তাক বিনিময় বিধি মানি চলা বুলি কোৱা হয় আৰু এই বিধি কেই বিনিময় বিধি বুলি কোৱা হয়। 

    বিনিময় বিধি মতে যদি a আৰু b দুটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে আমি পাওঁ, 

১/ a + b = b × a

২/ a × b = b × a

যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা দুটা লৈ পৰীক্ষা কৰি চালে এই বিধি দুটাৰ সম্পৰ্কে স্পষ্ট হ'ব।

উদাহৰণ 1

ধৰা হওঁক a = --4 আৰু b = 7

 এতেকে, a + b.      আকৌ b + a

             =(--4) + 7           =7 + (--4)

             = --4 + 7.            = 7 --4

             = 3                       =3

এতেকে a + b = b + a হয়

প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

উদাহৰণ 2

ধৰা হওঁক , a = --12 আৰু b = --62

এতেকে, a × b.          আকৌ, b × a     

         =(--12)×(--62)       = (--62) × (--12)

         = (12×62)             = (62×12)

         = 744                    = 744

 এতেকে a × b = b × a হয়

 প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

গতিকে এই পৰীক্ষাৰ পৰা বুজিব পাৰি যে দূটা অখণ্ড সংখ্যা যোগ কৰিলে যিমান মান পোৱা যায়, সিহঁতৰ স্হান। সালসলনি কৰি যোগ কৰিলেও একেই মান পোৱা যায়। 

আকৌ পূৰণৰ ক্ষেত্ৰতো একেই কথা। দুটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলে যিমান মান পোৱা যায়, সিহঁতৰ স্থান সালসলনি কৰি পূৰণ কৰিলেও একেই মান পোৱা যায়। 

** মনত ৰাখিবা 

 1. এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ লগত এটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা যোগ কৰিলে ফলাফলত এটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। ( ফলাফলত ডাঙৰ সংখ্যাৰ আগত থকা চিনটো ৰৈ যায়) যেনে :. 4 + (--9) = 4 -- 9 = --5

অৰ্থাৎ যদি a আৰু (--b) দুটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে

a + (--b) = --(a+b) পোৱা যায়।

2/ এটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ লগত আন এটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলে এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। যেনে : 

    (--8) ×(--40) 

    = 8×40

    = 320

অৰ্থাৎ (--a) আৰু (--b) দুটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ'লে, (--a) ×(--b) = (a×b) = ab হয়।

3. আমি এনেদৰেও চিনৰ পৰিবৰ্তনৰ সম্পৰ্কে ক'ব পাৰোঁ  --

 ক) যুগ্ম + যুগ্ম = যুগ্ম

 খ) অযুগ্ম + যুগ্ম = অযুগ্ম

 গ) যুগ্ম + অযুগ্ম = অযুগ্ম

 ঘ) অযুগ্ম + অযুগ্ম = যুগ্ম

২/ আৱদ্ধ বিধি ( closure property):

 যদি দুটা অখণ্ড সংখ্যা যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণ কৰা হয় তেন্তে আন এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। এই ধৰ্মটোকেই অখণ্ড সংখ্যাৰ আৱদ্ধতা বিধি বুলি কোৱা হয়।

 অৰ্থাৎ যদি a আৰু b দুটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে আমি পাওঁ (ক) a + b এটা অখণ্ড সংখ্যা হ'ব

                (খ) a -- b এটা অখণ্ড সংখ্যা হ'ব

                (গ) a × b এটা অখণ্ড সংখ্যা হ'ব

উদাহৰণ 1 : a = -6, b = 14 হ'লে যোগৰ ক্ষেত্ৰত আৱদ্ধ হয় নে পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান : a = -6 , b = 14

এতেকে, a + b

             = --6 + 14

             = 8 ফলাফল এটা অখণ্ড সংখ্যা হয়।

 এতেকে a + b এটা অখণ্ড সংখ্যা হয়।

 প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

 

উদাহৰণ 2 : a = --6 , b = 14 হ'লে বিয়োগৰ ক্ষেত্ৰত আৱদ্ধ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান : a = --6 , b = 14

এতেকে, a -- b

             = --6 -- 14

             = --20 ফলাফল এটা অখণ্ড সংখ্যা হয়।

এতেকে, a -- b অখণ্ড সংখ্যা হয়।

প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

উদাহৰণ 3 : a = --6 , b = 14 হ'লে পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত অখণ্ড সংখ্যা আৱদ্ধ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।       

সমাধান : a = --6 , b = 14

এতেকে, a × b

            =( --6) × 14

            = --(6×14)

            = -- 84 ফলাফল এটা অখণ্ড সংখ্যা।

 এতেকে, a × b এটা অখণ্ড সংখ্যা হয়।

 প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

 

উদাহৰণৰ পৰা বুজা গ'ল যে দুটা অখণ্ড সংখ্যা যোগ কৰিলে আন এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। দুটা অখণ্ড সংখ্যা বিয়োগ কৰিলেও আন এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। একেদৰে দুটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলেও আন এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। অৰ্থাৎ যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত অখণ্ড সংখ্যাই আৱদ্ধতা বিধি মানি চলে। কিন্তু হৰণৰ ক্ষেত্ৰত মানি নচলে। 

৩/ সহযোগ বিধি ( associative law ):

যদি ক্ৰমে a, b, c তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে প্ৰথম আৰু দ্বিতীয়টো সংখ্যা একেলগ কৰি তৃতীয়টোৰ লগত যোগ বা পূৰণ কৰিলে যিমান মান পোৱা যাব, দ্বিতীয় আৰু তৃত্বীয়টোক একেলগ কৰি প্ৰথমটোৰ সৈতে যোগ বা পূৰণ কৰিলেও একেই মান পোৱা যাব। অৰ্থাৎ যদি a, b, c তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে আমি পাওঁ,

 ১/ a + (b + c) = (a + b) + c 

 2/ a × (b × c) = (a × b) × c  

এই ধৰ্মটোকেই অখণ্ড সংখ্যাৰ সহযোগ বিধি বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণ 1 : a= 30, b = --18 , c = --24 হ'লে যোগৰ ক্ষেত্ৰত অখণ্ড সংখ্যাই সহযোগ বিধি মানি চলে নে নাই পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান : : a= 30, b = --18 , c = --24

বাওঁপক্ষ, a + (b + c)

            = 30 + { (--18) + (--24) }

            = 30 + { --18 -- 24}

            = 30 + { -- 42}

            = 30 -- 42 

            = --12 

  সোঁপক্ষ : ( a +b)+ c

            = { 30 + (--18) } + (--24)

            = { 30 --18 } -- 24

            = 12 -- 24

            = --12 

এতেকে, বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ

এতেকে, a + (b + c) = (a + b) + c হয়

এতেকে প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

উদাহৰণ 2 : a= 30, b = --18 , c = --24 হ'লে পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত অখণ্ড সংখ্যাই সহযোগ বিধি মানি চলে নে নাই পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান : : a= 30, b = --18 , c = --24

বাওঁপক্ষ , a × (b × c)

              = 30 × { (--18) × (--24) }

              = 30 × { 18 × 24}

              = 30 × 432

              = 12960

 সোঁপক্ষ, (a × b) × c  

               = { 30 × (--18) } × (--24)

               = {--( 30×18) } × (--24)

               = { -- 540 } × (--24)  

               = ( 540 × 24) [ অখণ্ড সংখ্যা পূৰণৰ                                                          ধৰ্ম মতে ]

               = 12960

  এতেকে, বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ

  এতেকে, a × (b × c) = (a × b) × c হয়

  এতেকে প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

উপৰোক্ত পৰীক্ষাৰ দ্বাৰা বুজিব পৰা যায় যে অখণ্ড সংখ্যাবিলাকে যোগ আৰু পূৰণৰ সাপেক্ষে সহযোগ বিধি মানি চলে। কিন্তু বিয়োগ আৰু হৰণৰ ক্ষেত্ৰত অখণ্ড সংখ্যাই সহযোগ বিধি মানি নচলে।

৪/ অখণ্ড সংখ্যাৰ বিতৰণ বিধি ( Distributive property of Integers.):

 যদি a, b , c তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে বিতৰণ বিধি মতে আমি এইদৰে পাওঁ --

(ক) a × (b + c) = a × b + a × c

(খ) a × (b -- c) = a × b -- a × c

এই বিধিকেই অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগ আৰু বিয়োগত পূৰণৰ বিতৰণ বিধি বুলি কোৱা হয়।

অখণ্ড সংখ্যাক এই দুটা বিধি বা নিয়মৰ দ্বাৰা পূৰণ কৰিব পৰা যায়। যদি a, b, c তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে যোগৰ সাপেক্ষে a × (b+c) হ'লে a × b + a × c পোৱা যায়। একেদৰে যদি a × b + a × c এই আৰ্হিত অংকটো দিয়া থাকে তেন্তে আমি

 a × (b + c) এই আৰ্হিলৈ পৰিবৰ্তন কৰি পূৰণ কৰিব লাগে। আকৌ বিয়োগৰ সাপেক্ষে a, b, c তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলে a × (b -- c) হ'লে a × b -- a × c এই আৰ্হিত পোৱা যায়। একেদৰে যদি a × b -- a × c আৰ্হিত অখণ্ড সংখ্যা কেইটা দিয়া থাকে তেন্তে আমি a × (b -- c) এই আৰ্হিত পৰিবৰ্তন কৰি পূৰণ কৰিব লাগে। প্ৰয়োগত দেখুওৱা হৈছে।

বিতৰণ বিধিৰ প্ৰয়োগ (Application of distributive property) : 

প্ৰশ্ন : বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি সমাধান কৰা :

(i) --8 × 15 + (--20) × 15

(ii) 40 × (--50) --- 60 × (--50)

সমাধান : (i) --8 × 15 + (--20) × 15

           = 15 × --8 + 15 × (--20)

           = 15 × { --8 + ( --20) }

           = 15 × { --8 -- 20}

           = 15 × ( --28)

           = --(15×28)

           = -- 420

           __________

সমাধান: (ii) 40 × (--50) --- 60 × (--50)

             = (--50) × 40 -- (--50) × 60

             = (--50) × (40 --- 60)

             = (--50)× (--20)

             = ( 50×20)

             = 1000

সমাধান কৰোঁতে বিধি অনুসৰি সংখ্যাবোৰ সঁজাই ল'ব লাগে। 

** বিতৰণ বিধি সহায়ত মান নিৰ্ণয় কেনেকৈ কৰা হয় ? 

বিতৰণ বিধি মতে মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ অংকটো বিতৰণ বিধিৰ আৰ্হিত দিয়া থাকিব লাগে। যদি বিধিৰ আৰ্হিত দিয়া নাথাকে তেন্তে উৎপাদকত বিশ্লেষণ কৰি বিধি আৰ্হিলৈ পৰিবৰ্তন কৰি ল'ব লাগে। তলত দেখুওৱা হৈছে।

(ক) 58 × 47 + 94 এই সমস্যাটো লক্ষ্য কৰা ইয়াত বিধি মতে সংখ্যাকেইটা পূৰণ আৰু যোগ হৈ থকা নাই। বিধি মতে আমাক চাৰিটা সংখ্যা প্ৰয়োজন কিন্তু ইয়াত তিনিটাহে আছে। এনেকৈ সমস্যাটো উল্লেখ থাকিলে আমি সমাধানৰ প্ৰথম স্তৰত বিধিৰ আৰ্হিলৈ নি লবলৈ চেষ্টা কৰিব লাগে। ইয়াক সমাধান কৰিলে কেনেদৰে কবিব লাগিব চোৱা। ---

(ক) সমাধান : 

58 × 47 + 94 

 = 58 × 47 + 47 × 2

 = 47 × 58 + 47 × 2   [ ইয়াত 47=a,                                                       58= b , 2= c                                                               বুলি ধৰা হৈছে]   

 = 47 × ( 58 + 2) 

 = 47×60

 = 2820

অৰ্থাৎ এনেদৰে তিনিটা সংখ্যাত সমস্যাটো দিয়া থাকিলে সিহঁতক বিধি অনুসৰি চাৰিটা সংখ্যালৈ পৰিবৰ্তন কৰি ল'ব লাগে। অৰ্থাৎ  a×b=a×c আৰ্হিলৈ নি ল'ব লাগে। ইয়াত 94 ক a× c লৈ পৰিবৰ্তন কৰি লোৱা হৈছে। 94=  47 × 2  ।

পঢ়ি চোৱাৰ বাবে অশেষ আন্তৰিক ধন্যবাদ জ্ঞাপন কৰিছোঁ।

+++++++++++++++++++++++++++++++